문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 대수학의 기본정리 (문단 편집) === 갈루아 이론을 이용한 증명 === 우리가 "방정식을 푼다" 고 할 때 방정식의 해를 어떤 집합에서 찾는지 생각해보자. 실수들의 집합 [math(\mathbb{R})], 대수학의 기본정리의 경우 복소수들의 집합 [math(\mathbb{C})], 종종 모듈로 연산을 할 경우 [math( p)]로 나눈 나머지만을 고려하여 [math( \left\{0,1,2,\ldots, p-1\right\} )] 에서 해를 찾게 된다. 이러한 작업을 할 수 있는 일반적인 집합이 바로 체(field) 이다. 체에 대한 이론을 정립하고 기존에 고려하던 실수체 [math(\mathbb{R})]과 [math(\mathbb{C})]를 넘어서는 수많은 체들에 대해 방정식을 풀게 되면서 기존에 가능하지 않던 접근이 가능해진다. 갈루아 이론은 두 체 [math( E\subset F)]가 있을 때 두 체 사이의 체를 갈루아 군이라는 대상의 부분군과 일대일 대응을 시킴으로써 분류를 가능하게 하는 이론이다. 이로서 군에 대하여 정립된 이론 ([[실로우 정리|Sylow theory]] 등)을 적용할 수 있게 된다. 이 증명에서 이용되는 "대수적이지 않은 성질"은 [math( \mathbb{R} )] 위의 홀수차수 방정식은 근을 갖는다는 <중간값 정리> 와, 임의의 복소수의 제곱근이 복소수 집합 내에서 존재한다는, 본질적으로 <2차방정식의 풀이> 이다. 기존에 알고 있던 명제들을 [[체(대수학)|체론]]의 언어로 바꾸는 것에서 시작하자. > 중간값 정리 > [math( \mathbb{R})] 의 홀수 차수 확대체(extension field)는 자기 자신뿐이다.[* 홀수 차수 확대체의 최소 다항식은 기약 다항식이므로, 1차식이 아닌 이상 근을 가질 수 없다.] > 2차방정식의 풀이 > [math( \mathbb{C})] 의 2차 확대체는 자기 자신뿐이다. > 대수학의 기본정리 > [math( \mathbb{C} )]의 유한 확대체(finite extension field)는 자기 자신뿐이다.[* 만약 어떤 복소계수 다항식 [math( p\left(x\right) )] 의 해가 복소수체 [math( \mathbb{C})] 내부에서 존재하지 않는다면, 그러한 해들을 미지수 [math( \xi )] 로 놓고, 정확히 [math( \mathbb{R})] 에서 [math(x^2+1=0 )] 의 해를 추가하여 [math(\mathbb{C})] 를 만들듯, [math( \mathbb{C} )] 를 포함하는 더 큰 체를 만들 수 있기 때문이다.] 이제 중간값 정리와 2차방정식의 풀이를 이용하여 대수학의 기본정리를 증명한다. [math( \mathbb{C} )] 의 유한 확대체 [math(E)] 가 존재한다고 가정하자. 임의의 유한 확대체는 유한 갈루아 확대체에 포함된다[* [math( \text{Char}\left(\mathbb{C}\right) = 0 )]이므로, [math(E )]의 최소 다항식의 분해체를 생각하면 된다]. [math( F)]를 [math( E)]를 포함하는 갈루아 확대체라 하자. 갈루아군 [math(\text{Gal}\left(F/\mathbb{R}\right) )] 의 2-Sylow Subgroup [math( H)] 를 생각하자. 갈루아 이론에 의해 [math(H = \text{Gal}\left(F/F'\right) )]가 되는 [math(F )]의 부분체 [math(F' )]가 존재하며, [math(H )]가 2-Sylow Subgroup이므로 [math( \left[F':\mathbb{R}\right] )]는 홀수이다. 하지만 <중간값 정리>에 의해 [math( F'=\mathbb{R})] 이고, [math( \left[F:\mathbb{R}\right] )] 는 2의 거듭제곱이어야만 한다. [math( \left[F:\mathbb{R}\right]=\left[F:\mathbb{C}\right]\left[\mathbb{C}:\mathbb{R}\right]=2\left[F:\mathbb{C}\right] )] 에서 [math( \left[F:\mathbb{C}\right])] 또한 2의 거듭제곱임을 알 수 있다. 이제 [math(\left[F:\mathbb{C}\right]=2^e\ne 1 )]라 가정하자. Sylow theory의 결과를 다시 한 번 적용하면, [math(\text{Gal}\left(F/\mathbb{C}\right))] 의 원소 개수 [math( 2^{e-1})] 인 부분군이 존재하며, 갈루아 이론에 의해 이 부분군에 대응되는 [math(\mathbb{C})]의 2차 확대체가 존재하게 된다. 이것은 <2차방정식의 풀이>에 모순이다. 따라서 [math( \left[F:\mathbb{C}\right]=1)] 이고 [math( F=\mathbb{C})] 이다. 이로써 대수학의 기본정리가 증명되었다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기